Il piccolo universo di un pallone in espansione

Aggiornato il 30 Aprile 2021

Oltre che utilizzando un elastico, è possibile realizzare un piccolo esperimento sulla legge di Hubble-Lemaitre utilizzando un modello leggermente più complicato, ma altrettanto semplice da portare in classe: un palloncino.
L’idea non è nuova: l’analogia dell’universo in espansione con un palloncino che si sta gonfiando è presente in molti testi d’astronomia e viene utilizzata da molti insegnanti ed educatori.
Dal punto di vista matematico, supponendo che il flusso d’aria \(Q\) resti costante nel tempo, il volume del palloncino sarà  dato da:

\[\frac{4}{3} \pi R(t)^3 = \sqrt[3]{\frac{3Q}{4\pi} t}\]

A partire da questa equazione, data la definizione della costante di Hubble, \(H(t) = \frac{\dot{R}(t)}{R(t)}\), è possibile ricavare sia il valore della costante, sia la legge di Hubble-Lemaitre, sia altre grandezze che possono essere didatticamente utili, come la funzione che descrive come varia la distanza tra due punti sulla superficie del palloncino o la funzione che descrive la superficie percorsa durante l’espansione del palloncino da una formica che si muove su di esso.
Uno dei problemi da considerare nel momento della misurazione dei dati ⁽¹⁾Oltre a un cronometro per misurare il tempo, può essere utile utilizzare una cordicella per misurare le distanze, questo perchè a causa della curvatura non è agevole ricavare tale informazione a partire da un video è lo spessore dei palloncini solitamente in commercio, che non è costante su tutta la superficie (basti pensare alla punta, ad esempio). Per ovviare al problema si potrebbe utilizzare un palloncino in PVC, sebbene dal punto di vista didattico della visualizzazione della legge di Hubble-Lemaitre cambi poco. Indubbiamente con una superficie dotata di uno spessore costante, o quasi, il confronto della legge sul palloncino con quella nell’universo risulta più utile.
In questo senso è interessante far osservare agli studenti innanzitutto che \(R(t)\) indica non già  il raggio dell’universo, ma il fattore di scala dell’espansione cosmica, quindi che tale fattore di scala segue tale legge di proporzionalità :

\[R \propto t^{\alpha}\]

Il numero reale \(\alpha\) in esponente, se compreso tra 0 e 1, indica che l’universo si sta espandendo a velocità  decrescente; se maggiore di 1 indica che la velocità  di espansione dell’universo è crescente; se uguale a 1 indica che la velocità  di espansione è costante. Quindi, poichè il valore dell’esponente per il modello del palloncino è \(\alpha = 1/3\), il palloncino non può essere considerata un’analogia corretta, per quanto visivamente efficace, dell’universo in espansione.