Aggiornato il 19 Maggio 2020
Uno dei concetti più importanti in fisica è quello del campo e la prima grandezza di questo genere che si incontra nella propria carriera di studenti è il campo gravitazionale. Questi, però, non viene sempre definito: per avere una definizione pratica del concetto di campo bisogna spesso attendere l’introduzione del campo elettrico. Questi viene definito immaginando una carica \(Q\) di cui vogliamo determinare il campo e utilizzando una carica di prova \(q\) che viene posta a varie distanze. A questo punto si misura la forza tra le due cariche e si fa il rapporto tra il valore misurato e la carica di prova. Questo implica che il campo elettrico è allora definito come:
\(\vec E = \frac{\vec F}{q}\)
Allo stesso modo si può definire il campo gravitazionale come il rapporto tra la forza di attrazione tra una massa \(M\) grande a piacere e una massa di prova \(m\) più piccola di \(M\). Tale rapporto, però, vista la definizione della forza, coincide con l’accelerazione gravitazionale del pianeta di cui vogliamo misurare il campo gravitazionale:
\(\vec g = \frac{F}{m}\)
Una delle proprietà del campo gravitazionale in particolare e dei campi in generale che è possibile enfatizzare è il suo essere o non essere uniforme. Un campo è detto uniforme se il valore, direzione e verso non cambiano in funzione della distanza dall’origine del campo stesso. Per far notare la natura non uniforme del campo gravitazionale vale allora la pena riscrivere l’equazione di cui sopra utilizzando al posto della forza la formula della gravitazione universale:
\(\vec g = – \frac{GM}{r^2} \hat e_r\)
dove \(G\) è la costante di gravitazione universale, \(r\) la distanza dal centro gravitazionale, \(M\) la quantità di massa contenuta dalla sfera di raggio \(r\), \(\hat e_r\) il versore unitario perpendicolare alla superficie della sfera.
Usualmente per il campo gravitazionale si ricorda agli studenti che è all’incirca uniforme solo in prossimità della superficie della Terra e il valore dell’accelerazione di gravità è pari a circa \(g = 9.81 \, m/s^2 = 9.81 \, N/kg\), eppure è possibile, in determinate condizioni, avere un campo gravitazionale uniforme: ad esempio in una calotta sferica.
Per rendersi conto di questo fatto si può partire da un pianeta di raggio \(r = 6000 km\) con all’interno una cavità sferica il cui centro \(C’\) è posto a una distanza \(r_{CC’} = 5000 km\) dal centro \(C\) del pianeta. Per permettere agli studenti di calcolare il valore del campo gravitazionale all’interno della cavità è utile ricavare l’espressione dell’accelerazione di gravità in funzione della densità \(\rho\) del pianeta:
\(\vec g = – \frac{4\pi G \rho}{3} \vec r\)
A questo punto, con pochi calcoli, si riesce a ottenere la formula per calcolare la gravità all’interno della cavità:
\(\vec g_{C’} = – \frac{4\pi G \rho}{3} \vec r_{CC’}\)
facendo alla fine notare come tale formula dipenda solo dalla distanza tra i centri del pianeta e della cavità e non dal raggio della cavità o dal raggio del pianeta. Questo, ad esempio, vuol dire che se il centro della cavità coincide con il centro del pianeta, il campo gravitazionale all’interno del pianeta risulta nullo.
Un altro utile esercizio da aggiungere a quello proposto poc’anzi è indubbiamente quello di realizzare il grafico dell’andamento della gravità all’interno e all’esterno del pianeta.
Ovviamente lasciamo al lettore o agli studenti il compito di calcolare la gravità nella cavità utilizzando i dati suggeriti poco sopra.
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