La forma dello spazio, secondo Calvino

Aggiornato il 28 Settembre 2023

Descrizione breve

“La forma dello spazio” è un racconto di Italo Calvino, pubblicato nella raccolta “Le Cosmicomiche” (1965). La storia è basata su un’idea semplice, che l’autore riesce poi a far crescere attraverso numerosi spunti di riflessione, ispirati dallo sviluppo della cosmologia moderna a metà  degli anni ’50 del XIX secolo. àˆ un racconto fantastico, che ci sospinge lungo un affascinante percorso scientifico, dalla geometria di Euclide fino alla relatività  generale di Albert Einstein, con un tocco di poesia.

Obiettivi

L’obiettivo principale di questa attività  è quello di comprendere le basi della geometria di Euclide e il suo superamento con le geometrie non-euclidee. Senza far ricorso alla matematica (alquanto complessa), è comunque possibile intuire lo stretto legame tra queste geometrie, la curvatura dello spazio e la relatività  generale.

Valutazione

La valutazione avviene attraverso alcuni esercizi, suggeriti al termine di questa scheda.

Materiali

Una copia della raccolta “Le Cosmicomiche” di Calvino, da leggere in classe o a casa.

Prerequisiti

Si raccomanda lo svolgimento di questa attività  dopo l’introduzione della geometria euclidea prevista dai programmi scolastici, ed in particolare dei concetti di postulato e teorema.

Il racconto

Il protagonista, voce narrante del racconto, si ritrova nello spazio vuoto insieme a Ursula H’x, un personaggio femminile di cui si è invaghito, e al tenente Fenimore, suo rivale in amore. I tre stanno cadendo, lungo quelle che inizialmente vengono descritte come traiettorie parallele. Alla “impalpabile consistenza” dello spazio si contrappone una crescente tensione emotiva tra i personaggi, che rende il protagonista inquieto e dubbioso sulla loro sorte. Ciò innesca una serie di riflessioni e di interrogativi esistenziali sulla vera struttura dello spazio, sui punti di riferimento e, in definitiva sul senso del cadere in linea retta. Emerge un interrogativo in particolare: è possibile che due rette parallele si incontrino da qualche parte nell’Universo?

Il percorso didattico

Nel III secolo a.C., il filosofo greco Euclide pose le basi della geometria piana, che prende il suo nome e che impariamo a scuola ancora oggi. Essa si basa su cinque postulati (o assiomi), da cui discendono numerosi teoremi, come ad es. quello che stabilisce che la somma degli angoli interni di un qualunque triangolo sia sempre uguale a 180°.

Per il nostro racconto è di particolare interesse il V postulato: nella versione moderna, oggi più nota, esso afferma che da un punto esterno a una retta è possibile tracciare una e una sola parallela, ovvero un’altra retta che non incontra mai la prima. Nel corso del tempo, sono stati numerosi i tentativi di derivare il V postulato dai quattro precedenti, ma senza successo. Il V postulato resta un cardine della geometria euclidea, anche se non dimostrabile.

Il XIX secolo è un punto di svolta nella storia della scienza. Grazie a grandi matematici come Gauss, Lobačhevskij, Riemann, Beltrami e Poincarè, vengono concepite tra l’altro le geometrie non euclidee, dove il V postulato di Euclide non vale.

Prima di andare avanti, riflettiamo sul fatto che “muoversi in linea retta” significa in pratica percorrere la traiettoria più breve che ci porta da un punto A a un punto B dello spazio. Se ci muoviamo su un piano, tale traiettoria è un segmento di retta. Le cose cambiano se ci muoviamo sulla superficie di una sfera, come ad es. la Terra: in questo caso, il percorso più breve è un arco di cerchio massimo. Questo tipo di percorso, così come un segmento di retta su un piano, viene chiamato “geodetica“.

Più in generale, una geodetica è il percorso più breve tra due punti su una qualunque superficie, piana o curva che sia. Su una sfera sono cerchi massimi i meridiani e l’equatore, ma NON i paralleli!

Immaginiamo ora due percorsi lungo due meridiani, partendo ad es. dall’equatore verso Nord: inizialmente queste due traiettorie potrebbero sembrare parallele, in quanto formano entrambe un angolo di 90° rispetto all’equatore, ma sulla lunga distanza sappiamo che si incroceranno certamente (in quale punto? Ditelo voi…).

Questo succede anche per una qualunque coppia di cerchi massimi. Dunque sulla superficie di una sfera due (o più) geodetiche, se prolungate abbastanza, si incontreranno! Ciò è dovuto al fatto che la superficie della sfera ha una curvatura positiva e quindi non vale la geometria di Euclide. In particolare, non vale il V postulato e la somma degli angoli interni di un triangolo risulta maggiore di 180°.

Torniamo ora al racconto di Calvino e chiediamoci se sia possibile che due traiettorie parallele nello spazio prima o dopo si incontrino. Ebbene, la risposta dipende dalla curvatura dello spazio: se la curvatura è nulla, lo spazio è piatto e vale la geometria di Euclide, altrimenti no. Dobbiamo quindi capire cosa determina la geometria dello spazio, ovvero la sua “forma”. La risposta a questa domanda sta nella teoria della relatività  generale di Albert Einstein, e Calvino nel suo racconto ce ne offre una splendida versione:

“…lo spazio con qualcosa dentro è diverso dallo spazio vuoto, perchè la materia vi provoca una curvatura o tensione che obbliga tutte le linee in esso contenute a tendersi o curvarsi, allora la linea che ognuno di noi seguiva era una retta nel solo modo in cui una retta può essere una retta, cioè deformandosi di quanto la limpida armonia del vuoto generale è deformata dall’ingombro della materia…”

In altre parole, lo spazio viene deformato dalla presenza di materia e lo stesso accade alle traiettorie “diritte”, ovvero alle geodetiche, da un punto a un altro. Se lo spazio fosse curvo come una sfera, le rette si trasformerebbero in cerchi massimi e due traiettorie geodetiche qualsiasi, se prolungate a sufficienza, prima o dopo si incontrerebbero certamente. In una geometria di questo tipo (geometria sferica, a curvatura positiva) non esistono “rette parallele”, nel senso in cui le intendeva Euclide. In questo caso, il protagonista della storia di Calvino potrebbe effettivamente incontrarsi con la sua amata Ursula H’x!

Esistono anche altre alternative, matematicamente valide, anche se meno semplici da visualizzare: lo spazio potrebbe avere una “geometria iperbolica“, a curvatura negativa; in questo caso, per un punto esterno a una “traiettoria diritta” sarebbe possibile tracciare un numero infinito di altre traiettorie che non si incontrano mai con la prima. Ci sarebbero quindi non una ma infinite curve “parallele” alla traiettoria iniziale. In questo tipo di spazio a curvatura negativa, la somma degli angoli interni di un triangolo sarebbe sempre minore di 180°.

Riassumendo, la materia presente nello spazio determina la sua geometria e le proprietà  delle sue “traiettorie diritte”, ovvero delle geodetiche. In assenza di forze esterne, un corpo in “caduta libera” come i personaggi di Calvino, va in linea retta se la geometria dello spazio è euclidea. La presenza di materia però lo incurva, e lo stesso succede alle traiettorie geodetiche, che non saranno più lineari come una retta.

Oggi sappiamo bene che l’Universo non è vuoto. Vi sono stelle e pianeti, vi sono galassie, ma anche tanto gas e polvere in mezzo alle stelle, e poi “buchi neri”, e poi ancora tanta “materia oscura” (vedi gli Approfondimenti). Tutto ciò deforma lo spazio in qualche modo. Stabilire la quantità  di materia presente nell’Universo è una delle grandi questioni di cui si occupa la cosmologia moderna.

Verifiche

Q1: Cercate la definizione originale del V postulato di Euclide e discutete in classe la sua equivalenza con la versione moderna, citata sopra.

Q2: Un pilota d’aereo viaggia per mezz’ora in direzione Nord percorrendo 100 km, poi svolta verso Est e percorre altri 200 km in un’altra ora, ma a quel punto riceve l’ordine di tornare immediatamente alla base. Decide quindi di puntare verso Sud e… si ritrova al punto di partenza in appena mezz’ora. Da quale punto della Terra è partito il pilota? Quale distanza ha percorso nell’ultimo tratto della sua rotta, assumendo che abbia volato sempre alla stessa velocità ?

Q3: Cercate in rete informazioni sulle più recenti misure di curvatura dell’Universo fatte dagli astrofisici e quindi sulla sua geometria su grande scala. In particolare, cercate informazioni sull’esperimento italiano BOOMERanG. Discutete quindi in classe le conseguenze di uno spazio piatto (euclideo) o di uno spazio a curvatura positiva per le rotte di un’ipotetica astronave intergalattica.

Riferimenti al curriculum scolastico

Approfondimenti

• • De Bernardis, P., Masi, S., BOOMERanG E LA NUOVA COSMOLOGIA, Rivista di cultura e politica scientifica, N. 4/2003.
  • Kersting, M., and the ReleQuant team, General Relativity (Ambiente di apprendimento sulla Relatività  Generale, in inglese), Università  di Oslo, Norwegian Centre for Science Education, and Norwegian University of Science and Technology.
  • Filippelli, G., I greci e la Terra a sfera, EduINAF, 14/12/2021.
  • Kuna Ballero, S., Chi dimostrò che la Terra era tonda?, EduINAF, 02/05/2019.
  • Bardelli, S., Keplero, le orbite e la materia oscura, EduINAF, 08/06/2020.
  • Bardelli, S., Oscura espansione, EduINAF, 24/11/2020.
  • Giordano, A., Buchi neri per curiosi, EduINAF, 15/10/2020.
  • Filippelli, G., Un percorso didattico sui buchi neri, EduINAF, 07/10/2020.