Cercherò di non essere eccessivamente tecnico nella risposta che seguirà, ma non potrò fare a meno di non utilizzare formule e gergo matematico, che cercherò di spiegare nel modo migliore possibile.
Iniziamo definendo il tensore metrico, ovvero quella matrice che ci dice come si calcolano le lunghezze all’interno di uno spazio geometrico. Tale tensore (o tale metrica) può essere espresso non solo con la notazione matriciale, ma anche con una notazione un po’ più semplice da interpretare:
Dal punto di vista matriciale questa notazione discende dalla matrice identità \((4 \times 4)\) e, nello specifico con \(\Delta \tau_{AB}\), \(\Delta x_{AB}\), \(\Delta y_{AB}\), \(\Delta z_{AB}\) si indicano le differenze tra le coordinate di due quadripunti A, B all’interno del nostro 4-spazio.
Nel caso di uno spaziotempo di Minkowski il tensore metrico, invece, risulta
Questo genera alcune differenze con un 4-spazio euclideo, la prima e più evidente è che la parte “spaziale”, utilizzando il gergo relativistico, ha una segnatura (ovvero il segno davanti alle \(\Delta\) di ciascuna componente) negativa. Ed è, semplificando, questa parte specifica a essere considerata iperbolica, più che lo spazio di Minkowski nel suo complesso. Più in generale all’interno di uno spazio (o spaziotempo) di Minkowski è “incastonato” (embedded in inglese) uno spazio iperbolico.
D’altra parte utilizzando il tensore metrico di cui sopra e abbinato alle considerazioni precedenti, saremmo portati (in maniera forse un po’ troppo superficiale) a considerare lo spazio usuale come iperbolico. Se però adottiamo la seguente forma del tensore metrico, che è matematicamente equivalente a quella precedente
avremmo in questo caso assegnato la “qualità” iperbolica dello spaziotempo al… tempo.
Ad ogni modo, a quale delle due parti assegniamo la qualità di “essere iperbolico” (lo si potrebbe fare anche a una combinazione del tempo con un sottoinsieme a una o due dimensioni della parte spaziale), la curvatura globale dello spaziotempo di Minkowski è di fatto non determinata, questo perché tale spazio non è riemanniano. Bernard Riemann, da cui discende l’aggettivo utilizzato prima, è stato un matematico tedesco che a metà del XIX secolo ha matematicamente formalizzato le geometrie non euclidee.
Quindi dal punto di vista strettamente matematico uno spazio di Minkowski non è né euclideo né iperbolico.
All’atto pratico, almeno per l’universo in cui abbiamo la fortuna di vivere, il nostro universo presenta due curvature, una locale, che è di tipo iperbolico, causata dalla presenza di grandi masse (in particolare stelle e buchi neri), e una globale, che risulta piatta e quindi euclidea.
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