L’esperienza qui proposta nasce come rivisitazione del famoso esperimento ideato dal bibliotecario del Museo di Alessandria Eratostene di Cirene (276 a.C.-194 a.C.), col quale egli ha calcolato la lunghezza del raggio terrestre. Il nostro obiettivo è simile: si tratta di provare a stimare con buona approssimazione l’ordine di grandezza del raggio del nostro pianeta, usando un metodo diverso, anche se a tratti simile a quello più versatile e preciso pensato dall’astronomo alessandrino, il quale utilizzò osservazioni effettuate al solstizio d’estate (intorno al 21 giugno). Qui, invece, proponiamo di sfruttare gli equinozi, ovvero quei giorni (intorno al 21 marzo o al 21 settembre) in cui la Terra, lungo la sua orbita attorno al Sole, si trova a transitare in punti posti a 90° rispetto a quelli in cui cadono i solstizi.
Obiettivi
- Stimare il raggio della Terra.
- Applicare le equazioni del moto al movimento della Terra.
- Stimolare il pensiero critico.
Informazioni preliminari
Un po’ di storia
L’idea alla base della misurazione di Eratostene pare sia stata stimolata dal notare che a Siene, l’odierna Assuan, a mezzogiorno del solstizio d’estate la luce solare cadeva a perpendicolo nei pozzi specchiando l’astro nell’acqua sul fondo.
Lo stesso giorno, invece, ad Alessandria, città costiera residenza di Eratostene, la luce solare faceva proiettare a uno gnomone conficcato perpendicolarmente nel terreno un’ombra di circa 7° 10′. La prima osservazione poneva quindi la città esattamente al Tropico del Cancro.
La seconda osservazione, quella inerente l’ombra prodotta alla stessa ora, nello stesso giorno, da uno gnomone ad Alessandria, consentì a Eratostene, nota la distanza tra le due città supposte sullo stesso meridiano "“ in realtà , la città costiera se ne discosta di poco – di stabilire la lunghezza della circonferenza terrestre, quindi del suo raggio.
Per farlo, Eratostene semplicemente si accorse che quella discrepanza tra assenza di ombra in un luogo e presenza di ombra in un altro poteva essere spiegata solo supponendo una forma sferica per la Terra. Notando, allora, che \(360° / 7° 10′ = 360 / 7,16 = 50,27\), ovvero che l’ombra proiettata costituiva con buona approssimazione la cinquantesima parte della circonferenza, per ricavare la misura dell’intera circonferenza, quindi del raggio terrestre, l’antico astronomo non dovette fare altro che moltiplicare per quel fattore la distanza tra Siene e Alessandria, all’epoca valutata in 5000 stadi, operazione che restituì il valore 251.350 stadi. A questo punto diventa importante sapere a quanto equivaleva uno stadio e lo storico dell’astronomia John Dreyer (1852-1926) suggerisce di considerare per tale unità di misura il valore di 157,5 metri.
Pare, poi, che Eratostene in realtà avesse a sua volta arrotondata quella misura della circonferenza considerando il valore 252.000 in quanto questa scelta consentiva di avere 252.000 / 360° = 700 stadi per grado di latitudine.
Un po’ di astronomia e un po’ di geografia
Le zone di ombra e luce (notte e dì) presenti sulla Terra (e più in generale su qualunque pianeta illuminato dal Sole) sono divise da una linea detta terminatore. Generalmente questa linea risulta obliqua rispetto ai meridiani, ma nei due equinozi, giorni in cui le ore di luce e di buio si equivalgono, essa appare invece parallela a essi. Se, quindi, agli equinozi ponessimo lungo ogni meridiano tutta una serie di macchine fotografiche equidistanziate tra loro e dotate di una fotocellula collegata al pulsante dello scatto, avremmo una serie potenzialmente infinita di ritratti della nostra stella, sorpresa sempre nella stessa posizione rispetto all’orizzonte, nell’atto di sorgere (Fig. 1).
Preparazione all’attività
L’attività è consigliata per due gruppi distinti, anche appartenenti a due scuole diverse, purchè formati da ragazze e ragazzi capaci di alzarsi presto al mattino, dovendo recarsi all’alba del giorno dell’equinozio in due località , a una distanza di non meno di una cinquantina di chilometri l’una dall’altra. In entrambi i posti, due o più osservatori dovranno essere disponibili ad attendere che il Sole sorga e arrivi a posizionarsi in modo che la linea d’orizzonte appaia tangente al bordo inferiore del disco solare. In tal modo, riusciremo facilmente a compiere la misurazione del raggio terrestre che ci interessa, come descritto nel seguito.
Oltre a essere necessario che le località scelte per osservare il Sole siano più o meno sullo stesso parallelo, è importante assicurarsi che la loro altezza sul livello del mare sia confrontabile. Si tratta di un aspetto tanto importante quanto facilmente controllabile: se, ad esempio, entrambe le località sono sulla costa o se entrambe sono su un altipiano, non sorgeranno particolari problemi. Se invece vi è un dislivello anche solo di qualche centinaio di metri, l’osservatore posto nella località a quota maggiore vedrà il Sole con un certo anticipo la cui entità dipenderà dalla differenza di altezza dei due luoghi, andando così a introdurre un ulteriore errore in una misura che risente già di altre imprecisioni (Fig. 2).
Questa eventualità può costituire comunque un utile esercizio da proporre agli studenti per farli ragionare su come valutare l’entità di questo anticipo usando le equazioni presentate nella scheda (la velocità angolare della Terra, per esempio) e le loro conoscenze di trigonometria.
Si ricorda, a tal proposito, che l’orizzonte si calcola distare 5 chilometri da un osservatore posto sulla costa.
Descrizione completa
In corrispondenza di uno dei due equinozi, o anche in occasione di entrambi, le due scolaresche che abitano in due località differenti A e B, una a ovest dell’altra e di distanza reciproca approssimativamente nota fotografano, meteo permettendo, il Sole all’alba.
Per scattare la foto, si consiglia di attendere il momento in cui, dalle loro rispettive posizioni, l’orizzonte orientale apparirà tangente al bordo inferiore del disco solare (Fig. 3). Sarà importante, in questo caso, coordinare gli orologi dei propri dispositivi (smartphone o macchine fotografiche digitali) poichè l’orario dello scatto risulterà fondamentale per la determinazione del raggio terrestre.
Subito dopo aver scattato la foto al Sole, sarà cura di ciascun fotografo registrare l’esatta posizione di ciascuna località , cosa che potrà essere fatta agevolmente utilizzando i sistemi messi a disposizione di molte app per la geolocalizzazione (Google Map, Open Map, ecc.): in questo modo sarà possibile conoscere le coordinate equatoriali del luogo dal quale è stato osservato il fenomeno.
Poichè le due località A e B distano tra loro una distanza \(L\), gli osservatori più a Ovest posti in B vedranno il Sole nella stessa posizione vista da quelli in A con un certo ritardo \(Δt = t_2 "“ t_1\), dove \(t_2\) e \(t_1\) sono gli orari di scatto delle rispettive fotografie. La differenza tra i due orari permetterà quindi di stimare, anche se in modo approssimativo, la velocità tangenziale di rotazione
\[\frac{L}{t_2-t_1} = v\]
Poichè la velocità angolare è pari a\(\omega = {2 \pi}/{24}\) ore \(= 0,26\) radianti per ora, possiamo quindi facilmente ricavare l’ordine di grandezza del raggio terrestre calcolando:
\[R_{Terra} = \frac{v}{\omega} = \frac{L}{2 \pi} \cdot \frac{24 h}{t_2 – t_1}\]
In realtà , con questo metodo possiamo sperare di ottenere una buona stima della lunghezza del raggio terrestre solo effettuando l’esperienza all’equatore, per definizione l’unico cerchio massimo perpendicolare all’asse di rotazione del nostro pianeta. In tutti gli altri casi in cui ci si dovesse trovare a effettuare l’esperimento in località con latitudine diversa da 0°, ciò che invece andremo a valutare con buona approssimazione sarà il raggio del parallelo in prossimità del quale ci troveremo a fare le nostre misurazioni (Fig. 4). Per capire di quale parallelo si tratta, basterà osservare la latitudine, \(\vartheta\), delle località da cui sono stati eseguiti gli scatti, indicata su Google Map (o altra app analoga) .
Per quanto detto, a valori di latitudine diversi da 0° (equatore), ciò che misureremo sarà solo l’ordine di grandezza del raggio terrestre che entro un certo angolo abbastanza ampio restituirà una percezione accettabile delle dimensioni della Terra.
Correzione trigonometrica
Applicando alcune semplici considerazioni di trigonometria (vedi sempre Fig. 4) è possibile stimare con una migliore approssimazione la distanza dal centro della Terra dividendo il risultato ottenuto per il coseno della latitudine alla quale ci troviamo (da notare che all’equatore \(\cos \vartheta = 1\), ai poli, invece, \(\cos \vartheta = 0\)).
\[R_{Terra} = \frac{R_1}{\cos \vartheta_1} = \frac{R_2}{\cos \vartheta_2}\]
Considerazioni finali
Qualora le due località venissero scelte troppo vicine, vedere il Sole da quella più a Ovest non significherebbe osservare in entrambe la desiderata tangenza tra l’orizzonte e il bordo inferiore della stella, e questo fa capire l’importanza che assume la foto che chiediamo di scattare: immortalare l’astro in quel preciso istante significa avere atteso abbastanza da consentire al nostro pianeta di ruotare di un angolo sufficiente a vederlo oramai del tutto emerso al di sopra dell’orizzonte.
Da notare che “tra le due albe” la differenza potrebbe essere di pochi minuti: un lasso di tempo così breve da suggerire di essere alquanto solerti e precisi nel tentare di cogliere il momento giusto per scattare la foto dell’astro quando oramai sarà del tutto emerso da sotto l’orizzonte orientale. Piccole differenze di tempo che inoltre avranno il pregio di mostrare in modo chiaro come si abbia sempre poca percezione e scarsa consapevolezza di quanto velocemente la massa del nostro pianeta si avvolga attorno all’ideale asse passante per i due poli – eccezion fatta per quell’unica, teorica misura del moto che deriva dal sapere che la Terra compie un giro completo in 24 ore.
Una esperienza del tutto analoga potrebbe anche essere effettuata al tramonto, quindi a un orario forse meno ricco di fascino, ma di sicuro più “comodo” dell’alba. Se per qualche motivo dovesse fallire la misura mattutina, di sicuro suggeriamo di provare a immortalare il Sole nel momento in cui, prima di tramontare, l’orizzonte occidentale lambisce il suo bordo inferiore.
In entrambi i casi, la fotografia che chiediamo di scattare alla nostra stella è alquanto importante, perchè permette di calibrare il metodo: mediante quegli scatti possiamo infatti scartare con facilità le immagini che, prese prima o dopo il momento esatto della tangenza tra disco solare e orizzonte, mostrano l’inadeguatezza del dato temporale in esse contenuto. Questo stratagemma fornisce quindi un controllo necessario sulla bontà della misurazione effettuata, consentendo di metterci tutti d’accordo sull’uso corretto del nostro “strumento”.
Altre opportunità didattiche
L’attività può essere introdotta o ampliata dopo la misura stessa con discussioni su elementi letterari e mitologici (l’Aurora, divinità che tanta parte ha avuto nella poesia greca e latina), argomenti di trigonometria sferica, elementi di storia dell’astronomia come, ad esempio, il lungo e tortuoso percorso seguito per risolvere il problema della misura della latitudine e quindi del tempo.
Non ultimo, poi, una simile esperienza è in grado di mostrare in modo auto-evidente l’inconsistenza di assurde posizioni terrapiattiste, specie se la si compie prendendo come luoghi di osservazione località che giacciono a una distanza tale da non rendere possibile osservare nello stesso istante, a causa della curvatura terrestre, il fenomeno del sorgere del Sole.
Bibliografia
Angelo Adamo, Ortogonali a Eratostene – Un metodo didattico per valutare, più o meno 2357 anni, tre mesi e sei ore dopo il tentativo compiuto dall’astronomo alessandrino, l’ordine di grandezza del raggio terrestre, Giornale di Astronomia, vol. 48/4, 2022 (DOI: 10.19272/202208804005).
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